Fonksiyonel analiz 19. yüzyılın sonlarına doğru ortaya çıkan yeni bir matematik dalıdır. Zamanla önemi gittikçe artan ve sadece matematik için değil diğer bilim dalları içinde aranan bir bilim dalı olmuştur. Paul Pierre Levy (1886-1971) fonksiyonel analiz dalını bu isimle ortaya koyanlardan birisidir. Fonksiyonları reel veya kompleks sayılara dönüştüren dönüşümlere-operatörlere fonksiyonel denir.
Metrik uzaylar detaylı bir biçimde işlenmiş ve süreklilik-kompaktlık kavramları anlatılmıştır. Ayrıca Lineer uzaylar ve bu uzaydaki lineer operatörler sonra normlu lineer uzaylar ve bu uzaydaki fonksiyonel analizin önemli teoremleri verilmiştir. İç çapım ve Hilbert uzayları ve bu uzaylar ile ilgili kavramlar ise son konuyu oluşturmaktadır.